משרעת

משרעת של תנודת גל

המשרעת כטווח שינוי של פונקציה

במתמטיקה, מִשְׂרַעַת (אַמְפְּלִיטוּדָה) של פונקציה ממשית היא גודל הטווח שעל פניו משתנה הפונקציה בתחום ההגדרה שלה. זהו ההפרש בין הערך המרבי והערך המזערי של הפונקציה. המשרעת מיוצגת על ידי האות הגדולה A כקיצור לשם האנגלי Amplitude.

בפיזיקה, משרעת של תנודות או של גל היא גודל שמבטא את מידת השינוי של הערך המתנודד בכל מחזור. לעיתים המשרעת נמדדת כהפרש הערכים משיא לשיא, אך הגדרות נוספות משמשות בתחומים שונים.

הגדרות

גל סינוס. 1. משרעת השיא. 2. משרעת שיא לשיא. 3. משרעת RMS.‏ 4. זמן המחזור.

משרעת שיא היא הערך המרבי שמקבלת פונקציה בערך מוחלט. היא משמשת בהנדסת מערכות תקשורת ומערכות שמע, בהן הפונקציה היא אות שמתנודד סביב האפס ומקבל ערכים חיוביים ושליליים. לעיתים מחושבת משרעת השיא ביחס לערך הממוצע של הפונקציה.

משרעת שיא לשיא (Peak to Peak) מוגדרת כהפרש בין הערך המקסימלי שמקבלת הפונקציה לערך המינימלי. גודל זה ניתן לחישוב בקלות על ידי שרטוט גרף הפונקציה. כך ניתן בקלות לחשב את המשרעת של מתח חשמלי שמשתנה בזמן בעזרת אוסצילוסקופ. לעיתים המשרעת נלקחת כחצי המשרעת שיא לשיא.

משרעת השיא של גל מחזורי וסימטרי (כמו גל סינוס) היא קבועה ושווה למחצית המשרעת שיא לשיא, ולכן ניתן לקרוא לשני הגדלים הללו משרעת הגל ולחשב אותה בכל אחת משתי הדרכים. המשרעת של הפונקציות סינוס וקוסינוס היא 1. ההספק של גל סינוס מתכונתי לריבוע המשרעת שלו.

משרעת RMS היא שורש ממוצע הריבועים של הפונקציה וגם היא מבטאת את המידה שבה הפונקציה משתנה. משרעת RMS שימושית במיוחד בעיבוד אותות כאשר מדובר באותות שאינם מחזוריים, כמו רעש. זאת משום שההספק הממוצע של אות חשמלי אקראי מתכונתי לריבוע משרעת ה-RMS, ולא לריבוע משרעת השיא. משרעת ה-RMS של גל מחזורי מתכונתית למשרעת שיא לשיא שלו, והיחס ביניהם תלוי בצורת הגל.

דוגמאות

• הפונקציה המתארת גל סינוסאידי היא:

$\ f(x,t)=A\sin(kx-\omega t-\phi )+b$

היא ניראית כמו זו שמחזור אחד שלה מוצג בתרשים שלעיל, אך עם הגבהה בגודל b.‏ A היא המשרעת והיא שווה למשרעת השיא סביב b וגם למחצית המשרעת שיא לשיא. k הוא מספר הגל, $\omega$ היא התדירות הזוויתית והם קובעים את אורך הגל, זמן המחזור ומהירות הגל. $\phi \,$ הוא המופע ההתחלתי.

גלים סינוסאידיים נפוצים בטבע. לדוגמה, עבור גל אלקטרומגנטי הגודל המתנודד במקום ובזמן הוא השדה החשמלי, והמשרעת היא השדה החשמלי המקסימלי. המשרעת של גל קול היא מחצית הפרש הלחצים שיוצר הגל בחומר, והמשרעת של גל במיתר מתוח היא ההעתק המקסימלי.

• משרעת הפונקציה $\ f(x)=Ae^{-x^{2}}$ היא $\ A$, שכן ערכה המקסימלי של הפונקציה הוא $\ A$ (כש-$\ x=0$) וערכה המינימלי הוא $\ 0$ (כש-$x=\ \pm \infty$). זוהי חבילת גלים עם משרעת שיא לשיא בגודל A.

• המשרעת של אות המאופנן באפנון משרעת משתנה מרגע לרגע. אם הגל הנישא משתנה לאט יחסית לגל הנושא, המשרעת משתנה ממחזור למחזור אך נשארת בקירוב קבועה לאורך כל מחזור. במקרה כזה המשרעת שמשתנה בזמן נקראת מעטפת הגל. לדוגמה, עבור חבילת גלים מהצורה:

$\ f(x,t)=A\cos(k(x-ct))e^{-\beta (x-ct)^{2}}$

כאשר $\ \beta \ll k$, הגל הנישא משתנה לאט ביחס לתנודות של הגל הנושא ואפשר להתייחס לגודל $\ Ae^{-\beta (x-ct)^{2}}$ כאל מעטפת הגל - משרעת הגל בנקודה $\ (x,t)$.

• אם מדובר בפונקציה מרוכבת מהצורה:

$\ f(x)=A(x)e^{i\phi (x,t)}$

כאשר $\ A(x)$ ממשית וחיובית ו-$\ \phi (x,t)$ ממשית, אזי נהוג להתייחס ל-$\ A(x)$ כאל משרעת הפונקציה ול-$\ \phi (x,t)$ כאל המופע.