אלגברת מנה

אלגברת המנה - הכללה של חבורת המנה וחוג המנה למבנה אלגברי כללי. משמשת בין היתר להכללת משפטי האיזומורפיזם באלגברה אוניברסלית.

הגדרה:

יהי $(A; f_{1}, . . ., f_{n})$ מבנה אלגברי עם n פעולות, ויהא $\equiv$ יחס שקילות על אברי A כך שלכל פעולה $f_{j}$ , אם מתקיים $a_{i} \equiv b_{i}$ עבור i=1...k ,מתקיים גם:

$f_{j} (a_{1}, . . ., a_{k}) \equiv f_{j} (b_{1}, . . ., b_{k})$

יחס השקילות משרה מבנה אלגברי חדש שנקרא אלגברת מנה $A / \equiv$ שאבריו הם מחלקות השקילות המתאימות עם הפעולות: $f_{j} ([a_{1}], . . ., [a_{k}]) = [f_{j} (a_{1}, . . ., a_{k})]$ (לפי $\equiv$ )

דוגמה -הכללה של משפט האיזומורפיזם הראשון:

יהיו A ו-B מבנים אלגבריים ויהא F אפימורפיזם מ-A על-B,אזי:

A/Φ איזומורפי ל-B. כש- Φ יחס השקילות המוגדר על אברי A כך: $a \equiv b$ אם ורק אם $F (a) = F (b)$ .

הוכחה(חלקית) :

תחילה נוכיח ש-Φ משרה אלגברת מנה:

תהי $f_{j}$ פעולה k-ארית, ויהיו $a_{i} \equiv b_{i}$ (לפי Φ) עבור i=1...k (זאת אומרת $F (a_{i}) = F (b_{i})$ עבור i=1...k). מכאן נובע ש, $F (f_{j} (a_{1}, . . ., a_{k})) = (\hat{f_{j}} (F (a_{1})), . . ., \hat{f_{j}} (F (a_{k}))) = (\hat{f_{j}} (F (b_{1})), . . ., \hat{f_{j}} (F (b_{k}))) = F (f_{j} (b_{1}, . . . b_{k}))$ זאת אומרת, $f_{j} (a_{1}, . . ., a_{k}) \equiv f_{j} (b_{1}, . . ., b_{k})$

נגדיר הומומורפיזם מ-A/Φ ל-B כך: $Ψ ([a]) = F (a)$ הוא חח"ע כי צמצמנו את כל הערכים השווים למחלקות שקילות (איברים בודדים),ועל בירושה מ-F.

ראו גם

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אלגברת מנה27029397Q6592756

אלגברת מנה

ראו גם

תפריט ניווט

חיפוש