אלגברת מלצב
במתמטיקה, אלגברת מלצב היא אלגברה לא אסוציאטיבית, המתקבלת מאלגברה אלטרנטיבית באותו אופן שבו אפשר לקבל אלגברת לי מכל אלגברה אסוציאטיבית. לפיכך, כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, ואפשר להכליל מרכיבים משמעותיים בתורת המבנה של הסוג הראשון, אל המבנה הכללי יותר. מאידך, כמעט כל אלגברת מלצב פשוטה היא אלגברת לי. האלגברות נקראות על-שם אנטולי מלצב, שהגדיר והחל לחקור אותן ב-1955.
הגדרה
ככל אלגברה לא אסוציאטיבית, אלגברת מלצב היא מרחב וקטורי M מעל שדה, עם תבנית ביליניארית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [\cdot, \cdot] : M \times M \rightarrow M } . התבנית נדרשת לקיים את האקסיומות הבאות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, [x,x]=0} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\, x\in M} ;
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J(x,y,[x,z])=[J(x,y,z),x]} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J(x,y,z)=[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]} הוא ה"יעקוביאן".
אלגברות לי מוגדרות על ידי החלפת האקסיומה השנייה בזהות יעקובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J(x,y,z)=0} , שהיא בבירור חזקה יותר. את האקסיומה השנייה אפשר לכתוב כ- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [[x,y],[x,z]] = [[[x,y],z],x]+[[[y,z],x],x]+[[[z,x],x],y]} . בפרט, כל איבר מהצורה שייך ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,[[[M,M],M],M]} .
![{\displaystyle \ [[x,y],[x,z]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d1c634b2b846ca5395f5850bacf807a8f9658aa)
תכונות ומבנה
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (A,\cdot)} אלגברה אלטרנטיבית, הפעולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [x,y] = x\cdot y - y \cdot x} מגדירה עליה מבנה של אלגברת מלצב.
אלגברה לא אסוציאטיבית שכל תת-אלגברה שלה הנוצרת על ידי שני איברים היא אלגברת לי, נקראת אלגברת לי בינארית. במאפיין שונה מ-2, אפשר לתאר תכונה זו באמצעות אקסיומות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [x,x]=0} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ J([x,y],x,y)=0} . כל אלגברת לי היא אלגברת מלצב, וכל אלגברת מלצב היא אלגברת לי בינארית (כפי שאלגברה אלטרנטיבית עם שני יוצרים היא אסוציאטיבית).
במאפיין שונה מ-2, אלגבראות מלצב פשוטות מתחלקות לשני סוגים: אלגבראות לי פשוטות, או (כאשר המאפיין שונה מ-3) החלק הטהור באלגברת קיילי פשוטה ביחס לפעולת הקומוטטור. האלגברה האחרונה היא אלגברה 7-ממדית מעל השדה; שתי אלגבראות כאלה איזומורפיות אם ורק אם אלגבראות הקיילי המתאימות הן איזומורפיות.
במאפיין 0, המבנה של אלגבראות מלצב נחקר לעומק - מוגדרת עליהם תבנית עקבה (trace form), כלומר סימטרית ואסוציאטיבית, על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K(x,y) = \operatorname{tr}(R_x R_y)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_x} הוא אופרטור ההכפלה מימין ב-x. האלגברה פשוטה למחצה אם ורק אם התבנית רגולרית (בדומה לקריטריון המתאים באלגבראות לי בעזרת תבנית קילינג). במקרה זה, האלגברה מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות 7-ממדיות לעיל. הרדיקל הפתיר של אלגברת מלצב מתלכד עם החלק המאונך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^2} ביחס לתבנית K, ועל כן A פתירה אם ורק אם .
בנוסף, ניתן להגדיר תורת מודולים מעל אלגבראות מלצב, וללמוד בעזרתה הצגות של האלגבראות. בתחום זה תוצאות דומות לתורת ההצגות של אלגבראות לי, במיוחד במחקר אלגבראות ניליות.
32263135אלגברת מלצב