אי-תלות אלגברית

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית, תת קבוצה S של אלגברה A נקראת בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הבסיס K, אם לא קיים פולינום לא טריוויאלי עם מקדמים מ-K שמתאפס על ידי תת-קבוצה סופית של איברי S. במילים אחרות, S היא בלתי תלויה אלגברית אם לכל ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ ב-S ולכל פולינום $p\in K[x_1,\dots ,x_n]$ שאינו פולינום האפס, $p({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\ne 0$. בפרט, קבוצה בת איבר אחד $\{\alpha \}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל K אם ורק אם $\alpha$ הוא טרנסצנדנטי מעל K. באופן כללי יותר, כל איבריה של קבוצה בלתי תלויה אלגברית הם איברים טרנסצנדנטיים מעל K, אך זהו בוודאי לא תנאי מספיק לכך. לדוגמה, תת-הקבוצה $\{\sqrt{\pi },2\pi +1\}$ של שדה המספרים הממשיים היא לא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה המספרים הרציונליים, מכיוון שעבור הפולינום עם המקדמים הרציונלים

$p(x_1,x_2)=2{x_1}^2-x_2+1$

מתקיים

$p(\sqrt{\pi },2\pi +1)=0$.

המספר הגדול ביותר של איברים בלתי תלויים אלגברית נקרא דרגת הטרנסצנדנטיות של A מעל K.

השאלה האם הקבוצה $\{\pi ,e\}$ היא תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים היא בעיה פתוחה במתמטיקה. ב-1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה $\{\pi ,e^{\pi },\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4})\}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

משפט לינדמן-ויירשטראס

ערך מורחב – משפט לינדמן-ויירשטראס

לעיתים קרובות ניתן להשתמש במשפט לינדמן-ויירשטראס על מנת להוכיח כי קבוצה מסוימת היא בלתי תלויה אלגברית מעל שדה הרציונלים. המשפט נקרא על שמם של פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס. לינדמן הוכיח ב-1882 כי $e^{\alpha }$ הוא מספר טרנסצנדנטי לכל $\alpha$ אלגברי שונה מ-0. ויירשטראס הוכיח ב-1885 את הגרסה הכללית יותר של המשפט הטוענת כי אם ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ הם מספרים אלגברים בלתי תלויים ליניארית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$ אז המספרים $e^{{\alpha }_1},\dots ,e^{{\alpha }_n}$ הם בלתי תלויים אלגברית מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$.

ראו גם

• משפט הנורמליזציה של נתר

קישורים חיצוניים

• אי-תלות אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-תלות אלגברית40242333Q1495342