אינטגרל פרנל

הפונקציות $S(x)$ (אדום) $C(x)$ (ירוק)

ספירלת אוילר $(x,y)={\bigl (}C(t),S(t){\bigr )}$ . העקומה מתכנסת למרכז הספירה משני הצדדים כאשר $t\to \pm \infty$

במתמטיקה, אינטגרלי פרנל הם שתי פונקציות טרנסצנדטיות הנקראות על שם אוגוסטן ז'אן פרנל, אשר השתמש בהם למחקר באופטיקה.

הפונקציות הללו קרובות לפונקציית השגיאה, ומוגדרות כך:

${\begin{aligned}C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})dt\ ,\ S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})dt\end{aligned}}$

הפונקציות הן גם התיאור הפרמטרי של ספירלת אוילר, משום שניתן להגדיר את הספירלה כאוסף כל הנקודות כך שעבור $t$ כלשהו מתקיים

$(x,y)={\bigl (}C(t),S(t){\bigr )}$

מאפיינים

• הפונקציות הם פונקציות אי-זוגיות.
• ניתן לראות כי כאשר $x\to \infty$ אז ניתן להגדיר את הפונקציות בצורה אסימפטוטית בדרך הבאה:

${\begin{aligned}C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\Bigg (}{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{2}}+{\big [}1+O(x^{-4}){\big ]}\left({\frac {\sin(x^{2})}{{\sqrt {2\pi }}x}}-{\frac {\cos(x^{2})}{2{\sqrt {2\pi }}x^{3}}}\right){\Bigg )}\\S(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\Bigg (}{\frac {\operatorname {sgn}(x)}{2}}-{\big [}1+O(x^{-4}){\big ]}\left({\frac {\cos(x^{2})}{{\sqrt {2\pi }}x}}+{\frac {\sin(x^{2})}{2{\sqrt {2\pi }}x^{3}}}\right){\Bigg )}\end{aligned}}$

• ניתן להגדיר את הפונקציות על ידי טור אינסופי ואף להכליל אותם עבור ערכים מרוכבים וניתן להגדיר את הכללתם על ידי פונקציית השגיאה. הכללת הפונקציות הופכת אותם לפונקציות אנליטיות ושלמות בכל המישור, דבר הנעשה בדרך הבאה:

${\begin{aligned}C(x)&=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}\\S(x)&=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}\\C(z)&={\frac {\sqrt {2\pi }}{8}}(1-i)\left[{\text{erf}}\left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i{\text{erf}}\left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right]\\S(z)&={\frac {\sqrt {2\pi }}{8}}(1+i)\left[{\text{erf}}\left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i{\text{erf}}\left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right]\\C(z)&+S(z)i={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}(1+i){\text{erf}}\left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\\S(z)&+C(z)i={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}(1-i){\text{erf}}\left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)\end{aligned}}$

• הפונקציות מתכנסות בתנאי בתחום האי-שלילי של הישר הממשי.