איזוקליניות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, איזוקליניוּת היא יחס שקילות בין חבורות, המתייחס עבור חבורה G למבנה המשותף של המנה G/Z(G) ותת-חבורת הקומוטטורים G=[G,G]. היחס מאפשר מיון של מחלקות במקום שמיון שלם של חבורות, עד כדי איזומורפיזם, אינו אפשרי או אינו רצוי. כל החבורות האבליות איזוקליניות זו לזו. את היחס הגדיר פיליפ הול ב-1939.

הגדרה

ההגדרה מבוססת על-כך שפעולת הקומוטטור G/Z(G)×G/Z(G)[G,G] מוגדרת היטב.

חבורות G,H הן איזוקליניוֹת אם יש איזומורפיזמים α:G/Z(G)×G/Z(G)H/Z(H)×H/Z(H) ו-β:[G,G][H,H], המקיימים β([x¯,y¯])=[α(x¯),α(y¯)] (כאשר x¯,y¯ הם הנציגים של x,y בחבורות המנה).

חבורה G היא איזוקלינית לחבורה סופית אם ורק אם G/Z(G) סופית.

אינווריאנטים

נסמן ב-γi(G),ζi(G) את החבורות בסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה של חבורה G, בהתאמה. המנות γi(G)Z(G)/Z(G) והחיתוכים Gζi(G) אינם תלויים ב-G, אלא עד כדי איזוקליניות.

איזוקליניות לתת-חבורות ולחבורות מנה

חבורה G היא איזוקלינית לתת-החבורה H אם G=HZ(G) (אם G/Z(G) סופית, גם ההפך נכון). כאשר G סופית, G איזוקלינית לתת-החבורה H אם ורק אם G/Z(G)H/Z(H).

חבורה G היא איזוקלינית לחבורת המנה G/N אם NG=1 (אם G סופית, גם ההפך נכון). כאשר G סופית, היא איזוקלינית לחבורת המנה G/N אם ורק אם Z(G)Z(G/N).

לכל שתי חבורות איזוקליניות G,H יש כיסוי משותף ומעטפת משותפת, במובן הבא. יש חבורה M, איזוקלינית ל-G,H, כך ש-G,H מנות של M; ויש חבורה N, איזוקלינית ל-G,H, כך ש-G,H תת-חבורות של N. אם G,H סופיות, יש כיסוי משותף סופי ומעטפת משותפת סופית.

נציגים מינימליים

בכל מחלקת איזוקליניות יש חבורה T המקיימת TZ(T) (חבורה כזו נקראת חבורת גזע). יתרה מזו, אם G נוצרת סופית ו-G סופית, אז G איזוקלינית לחבורת גזע סופית, ובמקרה זה חבורה איזוקלינית ל-G היא בעלת סדר מינימלי (במחלקת האיזוקליניות) אם ורק אם היא חבורת גזע.

נאמר שחבורה G היא "מינימלית לתת-חבורות" אם אין לה תת-חבורה H כך ש-G=HZ(G) (אחרת, כפי שצוין לעיל, G איזוקלינית לתת-החבורה הזו). כל חבורה מינימלית לתת-חבורות מקיימת Z(G)Φ(G), כאשר Φ(G) היא תת-חבורת פרטיני; ההפך נכון אם Z(G)/(Z(G)G) נוצרת סופית.

נאמר שחבורה G היא "מינימלית למנות" אם אין לה תת-חבורה נורמלית N כך ש-NG=1 (אחרת, כפי שצוין לעיל, G איזוקלינית לחבורת המנה G/N). חבורה G היא מינימלית למנות, אם ורק אם כל תת-חבורה נורמלית מינימלית שלה מוכלת ב-G, ו-Z(G)/(Z(G)G) חבורה מפותלת.

לקריאה נוספת

  • On the Structure of n-Isoclinism classes of Groups, H.S. Hekster, J Pure and Applied Algebra 40 (1986), 63--85.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

איזוקליניות28309379Q6085500