אידיאל פרימרי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה מופשטת, אידיאל פרימרי (או אידיאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידיאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידיאל, אז או ש- a שייך לאידיאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידיאל. אידיאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידיאל, ולכן כל אידיאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידיאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידיאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידיאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידיאלים הפרימריים הם האידיאלים מהצורה  pt עבור p ראשוני.

אידיאל  I של חוג קומוטטיבי  A הוא פרימרי, אם בחוג המנה  A/I כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל  ab I או  a I או  b I אז  I ראשוני.

הוכחה. נניח  abQ, לכן  (ab)n=anbn Q. מתוך הפרימריות של  Q יוצא ש: או  an Q או  (bn)m=bnm Q עבור  m כלשהו. עכשיו, אם  an Q אז  aQ ואם  bmn Q אז  bQ. לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידיאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידיאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

פרימריות חזקה

אידיאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל  Q מקיים  QnQ. כל אידיאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

מקורות

  • The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.

ראו גם

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0


שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה

שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ]
אידיאל פרימרי22356457