קירוב דיופנטי

בתורת המספרים, קירוב דיופנטי של מספר ממשי נתון הוא מספר רציונלי קרוב אל המספר המבוקש. האנליזה הדיופנטית עוסקת, בין השאר, בקיומם של קירובים דיופנטיים, בטיב הקירוב האפשרי, ובהכללות של הבעיה היסודית. התחום נקרא על שמו של דיופנטוס שהציג בעיות שהפתרונות שלהן דווקא במספרים שלמים.

קירוב דיופנטי של מספר ממשי

מספר רציונלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{n}{m}} מקרב היטב את המספר הממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} , ככל שהמרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\alpha - \frac{n}{m}|} קטן יותר בהשוואה לגודל המכנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} . המדד הבסיסי בעניין זה הוא סדר הקירוב: אומרים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} ניתן לקירוב מסדר r, אם קיימים קבוע חיובי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} ואינסוף זוגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{n}{m}} , כך ש- $\ |\alpha -{\frac {n}{m}}|<{\frac {1}{Cm^{r}}}$.

קל לראות שכל מספר ממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} ניתן לקירוב מסדר ראשון: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} , המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m\alpha} נמצא במרחק שאינו עולה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1/2} מן המספר השלם הקרוב ביותר, ולכן קיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\alpha - \frac{n}{m}|\leq \frac{1}{2m}} .

דיריכלה הוכיח בעזרת עקרון שובך היונים שכל מספר ממשי אי-רציונלי ניתן לקירוב מסדר שני (ראו הוכחה במסגרת משמאל). הוא הוכיח גם שכל מספר רציונלי אינו ניתן לקירוב מסדר העולה על 1. ב-1891 הוכיח A. Hurwitz שכל מספר ממשי שאינו רציונלי ניתן לקירוב מסדר שני, עם הקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C = \sqrt{5}} . תוצאה זו היא אופטימלית בשני המובנים: יש מספרים שאינם ניתן לקירוב מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 2+\epsilon} , לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \epsilon > 0} (ראו משפט Roth להלן); כמו כן, יחס הזהב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \gamma = \frac{1+\sqrt{5}}{2}} ניתן לקירוב מסדר שני עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C = \sqrt{5}} , אבל לא עבור כל קבוע גדול יותר. אם מוציאים מכלל החישוב את המספרים הנמצאים במסלול של יחס הזהב תחת פעולת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})} , כלומר, את המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{a\gamma+b}{c\gamma+d}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a,b,c,d} שלמים ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ad-bc = \pm 1} , אז אפשר לקרב מסדר שני כל מספר אי-רציונלי נותר, עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C = \sqrt{8}} . באופן כללי יותר, לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ C < 3} יש רק מספר סופי של מסלולי-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})} , שמלבדם כל מספר אי-רציונלי ניתן לקרוב מסדר שני, עם הקבוע C. גם כאן, 3 הוא ערך אופטימלי: יש אינסוף מסלולים של מספרים שאינם ניתנים לקירוב מסדר שני עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C = 3} .

ב-1844 הוכיח ליוביל את משפט ליוביל הקובע כי לא ניתן לקרב מספר אלגברי אי-רציונלי מסדר שגדול מהדרגה שלו. תוצאה זו אפשרה לו להוכיח לראשונה כי קיימים מספרים טרנסצנדנטיים שכן הוא הראה שקיימים מספרים שניתן לקרב מכל סדר שהוא (אלו קרויים על שמו מספרי ליוביל).

ב-1955 שיפר K.F. Roth תוצאות קודמות של Thue, Siegel ו-Dyson, והראה שמספר אלגברי אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-2. תוצאה מעין זו מאפשרת להוכיח בקלות את הטרנסצנדנטיות של 𝑒 ושל קבועים מוכרים אחרים (אם כי הטרנסצנדטיות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} דורשת מאמץ רב יותר).

קירוב דיופנטי סימולטני

לפי משפט של מינקובסקי, שעסק רבות ב"גאומטריה של מספרים", אפשר לקרב זוג מספרים אי-רציונליים באופן סימולטני: לכל $\ \alpha ,\beta$ יש אינסוף שלשות של מספרים שלמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n, n', m} כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\alpha - \frac{n}{m}| < \frac{1}{m^{3/2}}} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\beta - \frac{n'}{m}| < \frac{1}{m^{3/2}}} . אותם שיקולים מראים שאפשר לקרב סימולטנית כל קבוצה סופית של מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha_1,\dots,\alpha_d} , על ידי מספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n_1,\dots,n_d,m} , כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\alpha_i - \frac{n_i}{m}|<\frac{1}{m^{1+1/d}}} .

התפלגות של הערך השברי

לכל מספר אי-רציונלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \alpha} , הסדרה $\ (\alpha ),(2\alpha ),(3\alpha ),\cdots$ היא בעלת התפלגות אחידה בקטע היחידה, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x) = x-[x]} מציין את החלק השברי של x (ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [x]} הוא החלק השלם), זוהי תוצאה של הרמן וייל שהוכחה באמצעות אנליזה הרמונית, ההוכחה גם סיפקה כלי כללי לדעת מתי סדרה מתפלגת אחיד ביחס למידה כלשהי בחבורות טופולוגיות קומפקטיות - קריטריון וייל. קרונקר הוכיח שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1,\alpha,\beta} בלתי תלויים לינארית מעל שדה המספרים הרציונליים, אז סדרת הזוגות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ((n\alpha),(n\beta))} צפופה בריבוע היחידה, קריטריון וייל מאפשר להראות שגם סדרה זו מפולגת אחיד. במסגרת התורה הארגודית, התגלו הוכחות נוספות לדברים הללו, באמצעות פיתוח של "חצי-מכפלות" (skew products) בידי הלל פורסטנברג, הכלים הללו מאפשרים לעיתים להוכיח התפלגות אחידה של מסלולים מסובכים יותר.

זרימות הומוגניות ודינמיקה

ניתן להראות כי פיתוח של שבר משולב נותן את הקירוב הטוב ביותר, בנוסף, ניתן להראות כי פיתוח של שבר משולב מתאים לזרימה גיאודזית על המשטח המודולרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) } . Dani הראה בשנות ה-80 דרך כללית להוכחה כי מספר הוא badly approximable דרך הוכחת התבדרות של מסלולים תחת זרימות גיאודזיות במרחבים דומים למשטח המודולרי. בשיטות דומות לאלו ניתן להוכיח (במקרים מיוחדים) תוצאות כלליות בתורת המספרים, דוגמת השערת Oppenheim ו-השערת ליטלווד.

מקורות

• Ivan Niven, 1963. Diophantine Approximations. מסת"ב 978-0486462677
• Dmitry Kleinbock, Some Applications Of Homogeneous Dynamics To Number Theory.