משפט דזרג

המחשה של משפט דזרג

משפט דזרג הוא תכונה אפשרית במרחב פרויקטיבי: כל שני משולשים פרספקטיים מנקודה הם פרספקטיים גם ביחס לישר. המשפט אינו נובע מהאכסיומות של הגאומטריה הפרויקטיבית, ולמרות שהוא חל במישור הפרויקטיבי המוגדר מן המישור האוקלידי, יש מישורים פרויקטיבים שאינם מקיימים אותו. מאידך, המשפט חל בכל מרחב פרויקטיבי מממד 3 או יותר. תכונת דזרג מאפשרת להגדיר פעולות על המרחב, באופן כזה שכל מרחב פרויקטיבי המקיים אותה מוגדר על־פי קואורדינטות מעל חוג עם חילוק.

המשפט, המיוחס לז'ראר דזרג (Girard Desargues‏; 1591–1661), הופיע לראשונה בספר על השימוש המעשי בגאומטריה פרויקטיבית שפרסם חברו ותלמידו Abraham Bosse ב-1648.

המשפט

יהי $P$ מרחב פרויקטיבי. שני משולשים $\triangle ABC,\triangle abc$ הם פרספקטיים מנקודה אם הישרים $Aa,Bb,Cc$ נפגשים בנקודה אחת. באופן אינטואיטיבי ניתן לומר, שהמתבונן מנקודת החיתוך אינו יכול להבחין בין שני המשולשים. שני המשולשים האלו יקראו פרספקטיים ביחס לישר אם החיתוכים של המשכי הצלעות $AB\cap ab,AC\cap ac,BC\cap bc$ נמצאים על ישר אחד.

משפט דזרג קובע שאם שני משולשים פרספקטיים ביחס לנקודה אזי הם פרספקטיים גם ביחס לישר.

המושגים "פרספקטיביות ביחס לנקודה" ו"פרספקטיביות ביחס לישר" הם מושגים דואליים זה לזה. המשפט הדואלי למשפט דזרג קובע ששני משולשים שהם פרספקטיים ביחס לישר הם בהכרח פרספקטיים מנקודה.