מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי $V$ המתקבל מתת-מרחב $W$, הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" $W$ ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן $V/W$. הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".

הגדרה

יהא $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb{𝔽}$, ויהי $W$ תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי $v\sim u\iff v-u\in W$ עבור כל $v,u\in V$. לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות.

נסמן את מחלקת השקילות של וקטור $v\in V$ להיות $\left[v\right]=\{u\in V\mid u\sim v\}$, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן $V/W$. ניתן להגדיר באופן טבעי על $V/W$ מבנה של מרחב וקטורי מעל $\mathbb{𝔽}$, על ידי פעולת חיבור $\left[v\right]+\left[u\right]=[v+u]$ וכפל בסקלר $\lambda \cdot \left[v\right]=[\lambda \cdot v]$.

ניתן להראות כי אם $V$ מרחב וקטורי מממד סופי, אז $\dim (V/W)=\dim \left(V\right)-\dim \left(W\right)$.

דוגמאות למרחב מנה

• אם נתבונן במרחב הווקטורי $V={\mathbb{ℝ}}^2$ ובתת המרחב $W=\{(x,y)\mid x=y\}$ (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל $V/W$ הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב-${\mathbb{ℝ}}^2$, ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב $\mathbb{ℝ}$.
• באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי ${\mathbb{ℝ}}^n$ ובתת מרחב שלו ${\mathbb{ℝ}}^m$ לאיזה $m<n$ המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה ${\mathbb{ℝ}}^n/{\mathbb{ℝ}}^m$ איזומורפי באופן טבעי למרחב ${\mathbb{ℝ}}^{n-m}$.
• באופן עוד יותר כללי, אם $V=W\oplus U$, אז מרחב המנה $V/U$ איזומורפי באופן טבעי למרחב $W$.

• יהי $(X,{ℱ},\mu )$ מרחב מידה. נקבע $1\le p<\mathrm{\infty }$ כלשהו, ויהי $L^p$ אוסף הפונקציות המדידות מהצורה $X\to \mathbb{ℝ}$ או $X\to \mathbb{ℂ}$, המקיימות $\Vert f{\Vert }_p\equiv {(\underset{X}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}<\mathrm{\infty }$. מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי $\Vert {\Vert }_p$ מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא סמי-נורמה של $L^p$. כדי להפוך את $\Vert {\Vert }_p$ לנורמה, התכונה החסרה היא כי $f\ne g⟹\Vert f-g{\Vert }_p\ne 0$. כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב $W=\ker \Vert {\Vert }_p=\{f\in L^p\mid \Vert f{\Vert }_p=0\}$ (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב-$p$), ונקבל כי על המרחב $L^p/W$, מתקבלת על ידי $\Vert {\Vert }_p$ נורמה טבעית.

קישורים חיצוניים

• מרחב מנה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחב מנה (אלגברה ליניארית)23771384