מטוטלת פוקו

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

הנפשה של מטוטלת פוקו המדגימה את סיבוב כדור הארץ על צירו

מטוטלת פוּקוֹ או המטוטלת של פוקו הייתה מרכיב בניסוי שערך לאון פוקו בפריז ובו הדגים באמצעותה שכדור הארץ חג סביב צירו, ואת פעולת כוח קוריוליס – כוח מדומה הנובע מהימצאותנו במערכת מסתובבת, שהיא מערכת לא אינרציאלית.

סיבוב כדור הארץ סביב צירו גורם למישור התנודה של המטוטלת להסתובב באיטיות, במהירות זוויתית ששווה למכפלת מהירות סיבוב כדור הארץ, בסינוס קו הרוחב של המקום בו מתבצע הסיבוב: בקטבים מישור התנודה ישלים סיבוב שלם ב-24 שעות, בפריז תארך ההקפה כ-32 שעות, ואילו בקו המשווה האפקט לא יורגש כלל. בישראל (קו רוחב 32°) המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.

בשנת 1851 ערך פוקו את הניסוי עם המטוטלת בפני הציבור בפנתיאון בפריז כאשר השתמש בכבל אשר אורכו 67 מטרים ואל קצהו מחובר כדור ברזל. על ניסוי זה ועל הגיית הגירוסקופ זכה פוקו לקבל את מדליית קופלי מהחברה המלכותית הבריטית בשנת 1855.

מטוטלות פוקו פזורות ברחבי העולם בעיקר במוזיאונים ובאוניברסיטאות. בישראל ניתן לצפות במטוטלת פוקו במספר מקומות, בהם מדעטק בחיפה, בבניין פרלמן ובגן המדע של מכון ויצמן למדע, בבניין המחלקה לפיזיקה באוניברסיטת בן-גוריון ובמצפה הכוכבים בגבעתיים.

מכיוון שהחיכוך עם האוויר מאט ואף מפסיק את תנועתה של המטוטלת, ישנם מוזיאונים שמוסיפים למטוטלת מנוע אלקטרומגנטי או אמצעי אחר, שמאפשר את המשך התנודה. מקומות אחרים מאתחלים את המטוטלת באופן קבוע לאחר עצירתה, לעיתים במסגרת טקס השקה המשמש כאטרקציה לציבור הרחב. אתגר הנדסי נוסף, הוא יצירת מטוטלת פוקו שתנוע ללא העדפה לכיוון מסוים.

ניתוח מתמטי

כאמור, סיבוב מישור התנודה של המטוטלת מוסבר על ידי כוח קוריוליס. בקירוב אל הזוויות הקטנות, המטוטלת מבצעת תנועה הרמונית במישור האופקי. תחת הקירוב, הכוח המחזיר שמפעילה הכבידה, נתון על ידי

$\ {\vec {F^{g}}}=-m\omega ^{2}{\vec {r}}$.

זאת כאשר $\ \omega ={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$ היא התדירות הזוויתית של תנודת המטוטלת. על מנת לחשב את השפעת כוח קוריוליס, יש לחשב את ההיטל שלו על המישור האופקי (תחת הקירוב, המטוטלת מוגבלת לתנועה במישור האופקי). כוח קוריוליס נתון על ידי

קובץ:Foucault-anim.gif

אנימציה המתארת את תנועת המטוטלת. הקו הירוק מתאר את מסלול המטוטלת על הארץ, והקו הכחול מתאר את תנועת המשקולת במערכת המסתובבת יחד עם סיבוב מישור התנועה.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec F^c=-2m\vec{\Omega}\times \dot{\vec r}}

זאת כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Omega} היא המהירות הזוויתית של כדור הארץ. לשם נוחות, נגדיר כי ציר ה-x מכוון מזרחה, וציר ה-y מכוון צפונה.

את רכיב המהירות הזוויתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Omega} יש לפרק למערכת הצירים המקומית שבה עושים את הניסוי. כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{ \omega} = \Omega \begin{pmatrix} 0 \\ \cos \lambda\\ \sin \lambda\end{pmatrix}\ ,} ${\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}v_{e}\\v_{n}\\v_{u}\end{pmatrix}}\ ,$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \boldsymbol{ a}_C =-2\boldsymbol{\omega \times v}= 2\,\Omega\, \begin{pmatrix} v_n \sin \lambda-v_u \cos \lambda\\ -v_e \sin \lambda\\ v_e \cos\lambda\end{pmatrix}\ .}

כאשר:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_e} היא מהירות בכיוון מזרח מקומי
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_n} היא מהירות בכיוון הצפון המקומי
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_u} היא מהירות כלפי הקרקע
לאחר שמבצעים את המכפלה הווקטורית בין המהירות הזוויתית של כדור הארץ למהירות המקומית
(הכל במערכת צירים מקומית), מקבלים את הביטוי שרשום ב ${\boldsymbol {a}}_{C}$

כעת מניחים כי המהירות האנכית זניחה (מטוטלת בזויות קטנות), ואת המהירויות הנותרות רושמים כנגזרת של מיקום
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{dy}{dt}=v_n}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dfrac{dx}{dt}=v_e}

כעת רושמים את הבטוי לכוח בכיוון מזרח וצפון, על ידי מכפלת התאוצות בכיוונים אלה במסת הגוף m

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^c_x = 2 m \Omega \dfrac{dy}{dt} sin(\lambda)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F^c_y = - 2 m \Omega \dfrac{dx}{dt} sin(\lambda)}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \lambda} הוא קו הרוחב שבו אנו נמצאים. בשקלול עם הכוח המחזיר והחוק השני של ניוטון, נקבל את מערכת המשוואות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 x + 2 \Omega \dfrac{dy}{dt} sin(\lambda)\\ \dfrac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 y - 2 \Omega \dfrac{dx}{dt} sin(\lambda) \end{array}\right. }

זוהי מערכת משוואות מצומדות, והיא קשה לפתרון ישיר. נגדיר משתנה מרוכב חדש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=x+iy} , ולאחר הכפלת המשוואה התחתונה ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i} וחיבור המשוואות, תתקבל המשוואה הפשוטה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \dfrac{d^2z}{dt^2}+2i\Omega\sin\lambda \frac{dz}{dt} +\omega^2z=0} , שפתרונה הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z(t)=e^{i \Omega \sin\lambda t} \cdot e^{\pm i\sqrt{\omega^2-(\Omega\sin\lambda)^2}t}}

בקירוב $\Omega <<\omega$ מתקבלת התוצאה הסופית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z=x+iy=e^{i \Omega \sin\lambda t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})} .

הביטוי בסוגריים מבטא תנועה הרמונית בתדירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} , והביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ e^{i \Omega \sin\lambda t}} הוא סיבוב מישור התנועה בתדירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Omega\sin\lambda} . אם נעבוד ביחידות זמן של ימים, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega=\frac{2\pi}{1_{day}}=2\pi} , ונבחין כי מישור התנועה משלים סיבוב שלם כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=\frac{2\pi}{\Omega\sin\lambda}=\frac{1}{ \sin\lambda}} ימים. בישראל, שבה $\lambda \approx 32^{\circ }$, המטוטלת משלימה סיבוב שלם כל 45 שעות.

לקריאה נוספת

• Amir, D. Aczel, Pendulum, Léon Foucault and the Triumph of Science, Washington Square Press, 2004 מסת"ב 978-0743464796

קישורים חיצוניים

• ניר שביב, The Foucault Pendulum, באתר "ScienceBits"‏, 28 במרץ 2006 (באנגלית)
• שאלות על מטוטלת פוקו באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי: מהי מטוטלת פוקו ומה תהיה זווית הסטייה המקסימלית שלה על קו המשווה?, מה האורך המינימלי של חוט שמטוטלת פוקו תפעל בו?, מהו כוח קוריוליס?
• ניסוי מטוטלת פוקו בקתדרלה בפירנצה, בארכיון הסרטונים של Associated Press‏, 1997
• מטוטלת פוקו, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33590193מטוטלת פוקו